与えられた3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まずは、方程式の整数解を探索する。整数解は定数項の約数である可能性が高い。

定数項は-6なので、約数は $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$。

これらの値を方程式に代入して、解となるものを見つける。

$x=1$ のとき: $1^3 - 1^2 + 1 - 6 = 1 - 1 + 1 - 6 = -5 \neq 0$

$x=-1$ のとき: $(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 6 = -1 - 1 - 1 - 6 = -9 \neq 0$

$x=2$ のとき: $2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$

$x=2$ が解の一つであることがわかった。

したがって、$x^3 - x^2 + x - 6$ は $(x-2)$ を因数に持つ。

筆算または組み立て除法を用いて、$x^3 - x^2 + x - 6$ を $(x-2)$ で割る。

組み立て除法を行うと、

```

2 | 1 -1 1 -6

| 2 2 6

----------------

1 1 3 0

```

よって、$x^3 - x^2 + x - 6 = (x-2)(x^2 + x + 3)$ と因数分解できる。

次に、$x^2 + x + 3 = 0$ を解く。これは二次方程式なので、解の公式を用いる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=1, b=1, c=3$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

したがって、解は $x = 2, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$

3. 最終的な答え

$2, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$