与えられた3次方程式 $x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

この3次方程式を解くために、まず整数解を探します。整数解の候補は定数項 $-4$ の約数である $\pm1, \pm2, \pm4$ です。これらの値を $x$ に代入して方程式が成り立つかどうかを確認します。

$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 - 4(-2)^2 - 14(-2) - 4 = -8 - 16 + 28 - 4 = 0$

となるため、$x = -2$ は解の一つです。

したがって、$x+2$ は $x^3 - 4x^2 - 14x - 4$ の因数です。多項式除算または組み立て除法を用いて、$x^3 - 4x^2 - 14x - 4$ を $x+2$ で割ります。

組み立て除法を用いると、

```

-2 | 1 -4 -14 -4

| -2 12 4

------------------

1 -6 -2 0

```

これにより、$x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = (x+2)(x^2 - 6x - 2)$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $x^2 - 6x - 2 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$

したがって、$x = 3 + \sqrt{11}$ と $x = 3 - \sqrt{11}$ が2次方程式の解です。

3. 最終的な答え

よって、与えられた3次方程式の解は $x = -2, 3 + \sqrt{11}, 3 - \sqrt{11}$ です。

-2,3+√11,3-√11