多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが2、$x-3$ で割ると余りが1である。$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが2、$x-3$ で割ると余りが1である。$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$$P(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + ax+b$$

と表せる。

$x=2$ のとき、 $P(2) = 2a+b$

$x=3$ のとき、 $P(3) = 3a+b$

問題文より、$P(2)=2$, $P(3)=1$ であるから、

$$2a+b=2$$

$$3a+b=1$$

この連立方程式を解く。

第2式から第1式を引くと、

$$a = -1$$

これを第1式に代入すると、

$$2(-1)+b = 2$$

$$b = 4$$

したがって、余りは $-x+4$ である。

3. 最終的な答え

$-x+4$