多項式 $P(x)$ を $x+1$ で割ると余りが $5$、$x+4$ で割ると余りが $11$ である。$P(x)$ を $(x+1)(x+4)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x+1$ で割ると余りが $5$、$x+4$ で割ると余りが $11$ である。$P(x)$ を $(x+1)(x+4)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x+1)(x+4)$ で割ったときの余りは、一般に $ax + b$ と表せる。ここで、$a$ と $b$ は定数である。

したがって、

$P(x) = (x+1)(x+4)Q(x) + ax + b$

と書ける。ただし、$Q(x)$ はある多項式である。

問題文より、$P(-1) = 5$ かつ $P(-4) = 11$ である。

上記の式に $x=-1$ を代入すると、

$P(-1) = (-1+1)(-1+4)Q(-1) + a(-1) + b = -a + b$

したがって、$-a + b = 5$。

上記の式に $x=-4$ を代入すると、

$P(-4) = (-4+1)(-4+4)Q(-4) + a(-4) + b = -4a + b$

したがって、$-4a + b = 11$。

連立方程式

$\begin{cases}

-a + b = 5 \\

-4a + b = 11

\end{cases}$

を解く。

第2式から第1式を引くと、

$(-4a + b) - (-a + b) = 11 - 5$

$-3a = 6$

$a = -2$

$a = -2$ を $-a + b = 5$ に代入すると、

$-(-2) + b = 5$

$2 + b = 5$

$b = 3$

したがって、余りは $-2x + 3$ である。

3. 最終的な答え

$-2x+3$