$x^3 - x^2 + x - 6$ を有理数の範囲で因数分解しなさい。

1. 問題の内容

$x^3 - x^2 + x - 6$ を有理数の範囲で因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて因数を見つけます。定数項 -6 の約数の中から $x$ に代入して式が 0 になるものを見つけます。

$x=1$ のとき、$1^3 - 1^2 + 1 - 6 = -5 \neq 0$

$x=-1$ のとき、$(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 6 = -1 - 1 - 1 - 6 = -9 \neq 0$

$x=2$ のとき、$2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$

したがって、$x-2$ は与式の因数です。

次に、与式を $x-2$ で割ります。

$x^3 - x^2 + x - 6 = (x - 2)(x^2 + x + 3)$

$x^2 + x + 3$ は判別式 $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0$ なので、これ以上実数の範囲で因数分解できません。したがって有理数の範囲でもこれ以上因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x-2)(x^2+x+3)$