二次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

二次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係を利用して、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の二次方程式は $2x^2 - 4x + 1 = 0$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-4}{2} = 2$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

次に、$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ を計算します。

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta}$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ であることを利用します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3$

よって、

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 2 = 6$

3. 最終的な答え

6