2つの等差数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ があり、それぞれの公差は $d_1$, $d_2$ である。次の数列 $\{c_n\}$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求める。 (1) $c_n = -3a_n$ (2) $c_n = a_n - 2b_n$

1. 問題の内容

2つの等差数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ があり、それぞれの公差は $d_1$, $d_2$ である。次の数列 $\{c_n\}$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求める。

(1) $c_n = -3a_n$

(2) $c_n = a_n - 2b_n$

2. 解き方の手順

(1) $c_n = -3a_n$ の場合

数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることから、$a_{n+1} = a_n + d_1$ が成り立つ。

したがって、

$c_{n+1} = -3a_{n+1} = -3(a_n + d_1) = -3a_n - 3d_1 = c_n - 3d_1$

これは、数列 $\{c_n\}$ が公差 $-3d_1$ の等差数列であることを示している。

初項 $c_1 = -3a_1$

(2) $c_n = a_n - 2b_n$ の場合

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が等差数列であることから、$a_{n+1} = a_n + d_1$ と $b_{n+1} = b_n + d_2$ が成り立つ。

したがって、

$c_{n+1} = a_{n+1} - 2b_{n+1} = (a_n + d_1) - 2(b_n + d_2) = a_n + d_1 - 2b_n - 2d_2 = (a_n - 2b_n) + (d_1 - 2d_2) = c_n + (d_1 - 2d_2)$

これは、数列 $\{c_n\}$ が公差 $d_1 - 2d_2$ の等差数列であることを示している。

初項 $c_1 = a_1 - 2b_1$

3. 最終的な答え

(1) $c_n = -3a_n$ の場合

- 初項: $-3a_1$

- 公差: $-3d_1$

(2) $c_n = a_n - 2b_n$ の場合

- 初項: $a_1 - 2b_1$

- 公差: $d_1 - 2d_2$