二次方程式 $-2x^2 + 6x + 3 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$の値を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $-2x^2 + 6x + 3 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を$\alpha, \beta$とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

である。

与えられた二次方程式 $-2x^2 + 6x + 3 = 0$ より、

$a = -2, b = 6, c = 3$ であるから、

$\alpha + \beta = -\frac{6}{-2} = 3$

$\alpha \beta = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$

である。

$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)^2$ と $\alpha \beta$ を用いて表すと、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

となる。

よって、

$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(-\frac{3}{2}) = 9 + 3 = 12$

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = 12$