放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ は、ある放物線をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動したものである。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ は、ある放物線をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動したものである。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動の逆変換を考える。放物線 $y = f(x)$ をx軸方向に $a$、y軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線の方程式は、$y - b = f(x - a)$ である。したがって、移動後の放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ は、もとの放物線をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動したものであるから、もとの放物線の方程式は、$y + 2 = -2(x - 1)^2 + 3(x - 1) - 1$ で表される。これを整理する。

$y + 2 = -2(x^2 - 2x + 1) + 3x - 3 - 1$

$y + 2 = -2x^2 + 4x - 2 + 3x - 4$

$y + 2 = -2x^2 + 7x - 6$

$y = -2x^2 + 7x - 8$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 7x - 8$