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与えられた4x4行列の行列式を、基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛けることで計算します。少なくとも1回は列基本変形を用いる必要があります。サラスの方法は使用できません。使用した基本変形を明記する必要があります。 行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 5 & 1 & 5 & 4 \\ 2 & 6 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} $

代数学行列式行列の基本変形線形代数
2025/6/25

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛けることで計算します。少なくとも1回は列基本変形を用いる必要があります。サラスの方法は使用できません。使用した基本変形を明記する必要があります。
行列は次の通りです。
∣30−36515426102321∣ \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 5 & 1 & 5 & 4 \\ 2 & 6 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}

2. 解き方の手順

まず、行に関する基本変形を行い、できるだけ多くの0を作り、計算を簡略化します。その後、列基本変形を少なくとも1回行います。最終的に三角行列になるように変形し、対角成分の積を計算します。
(1) 2行目を1行目の-5/3倍を足す（行の基本変形）:
∣30−360110−626102321∣ \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 0 & 1 & 10 & -6 \\ 2 & 6 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}
(2) 3行目を1行目の-2/3倍を足す（行の基本変形）:
∣30−360110−6063−42321∣ \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 0 & 1 & 10 & -6 \\ 0 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}
(3) 4行目を1行目の-2/3倍を足す（行の基本変形）:
∣30−360110−6063−4034−3∣ \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 0 & 1 & 10 & -6 \\ 0 & 6 & 3 & -4 \\ 0 & 3 & 4 & -3 \end{vmatrix}
(4) 3行目を2行目の-6倍を足す（行の基本変形）:
∣30−360110−600−5732034−3∣ \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 0 & 1 & 10 & -6 \\ 0 & 0 & -57 & 32 \\ 0 & 3 & 4 & -3 \end{vmatrix}
(5) 4行目を2行目の-3倍を足す（行の基本変形）:
∣30−360110−600−573200−2615∣ \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 0 & 1 & 10 & -6 \\ 0 & 0 & -57 & 32 \\ 0 & 0 & -26 & 15 \end{vmatrix}
(6) 4列目を3列目の6/57倍を足す（列の基本変形）：
∣30−36−3∗6/570110−6+10∗6/5700−5732−57∗6/5700−2615−26∗6/57∣=∣30−3324/570110−282/5700−57−200−26717/57∣ \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 6-3*6/57 \\ 0 & 1 & 10 & -6+10*6/57 \\ 0 & 0 & -57 & 32-57*6/57 \\ 0 & 0 & -26 & 15-26*6/57 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 324/57 \\ 0 & 1 & 10 & -282/57 \\ 0 & 0 & -57 & -2 \\ 0 & 0 & -26 & 717/57 \end{vmatrix}
=∣30−3108/190110−94/1900−57−200−26239/19∣ = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 108/19 \\ 0 & 1 & 10 & -94/19 \\ 0 & 0 & -57 & -2 \\ 0 & 0 & -26 & 239/19 \end{vmatrix}
(7) 4行目を3行目の-26/57倍を足す（行の基本変形）:
∣30−3108/190110−94/1900−57−2000239/19−(−2)∗(−26)/57∣=∣30−3108/190110−94/1900−57−2000239/19−52/57∣=∣30−3108/190110−94/1900−57−2000(239∗3−52)/57∣=∣30−3108/190110−94/1900−57−2000665/57∣ \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 108/19 \\ 0 & 1 & 10 & -94/19 \\ 0 & 0 & -57 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 239/19 - (-2)*(-26)/57 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 108/19 \\ 0 & 1 & 10 & -94/19 \\ 0 & 0 & -57 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 239/19 - 52/57 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 108/19 \\ 0 & 1 & 10 & -94/19 \\ 0 & 0 & -57 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & (239*3 - 52)/57 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 108/19 \\ 0 & 1 & 10 & -94/19 \\ 0 & 0 & -57 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 665/57 \end{vmatrix}
行列式は対角成分の積で計算できます。
3×1×(−57)×66557=−3×665=−1995 3 \times 1 \times (-57) \times \frac{665}{57} = -3 \times 665 = -1995

3. 最終的な答え

-1995

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