与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1=1, a_{n+1} - a_n = 2n$ (2) $a_1=2, a_{n+1} - a_n = 3n^2 + n$ (3) $a_1=1, a_{n+1} = a_n + n^2$ (4) $a_1=1, a_{n+1} = a_n + 4^n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1=1, a_{n+1} - a_n = 2n$

(2) $a_1=2, a_{n+1} - a_n = 3n^2 + n$

(3) $a_1=1, a_{n+1} = a_n + n^2$

(4) $a_1=1, a_{n+1} = a_n + 4^n$

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} - a_n = 2n$ なので、 $n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$

$n=1$ のとき $a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ となり、成り立つ。

(2)

$a_{n+1} - a_n = 3n^2 + n$ なので、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 + k) = 2 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$= 2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} = 2 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} + \frac{(n-1)n}{2}$

$= 2 + \frac{(n-1)n(2n-1+1)}{2} = 2 + \frac{(n-1)n(2n)}{2} = 2 + n^2(n-1) = n^3 - n^2 + 2$

$n=1$ のとき $a_1 = 1^3 - 1^2 + 2 = 2$ となり、成り立つ。

(3)

$a_{n+1} = a_n + n^2$ なので、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{6 + (n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{6 + (n^2 - n)(2n-1)}{6}$

$= \frac{6 + 2n^3 - n^2 - 2n^2 + n}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 + 6}{6} = \frac{2 - 3 + 1 + 6}{6} = \frac{6}{6} = 1$ となり、成り立つ。

(4)

$a_{n+1} = a_n + 4^n$ なので、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k = 1 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4-1} = 1 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{3 + 4^n - 4}{3} = \frac{4^n - 1}{3}$

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{4^1 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ となり、成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - n + 1$

(2) $a_n = n^3 - n^2 + 2$

(3) $a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$

(4) $a_n = \frac{4^n - 1}{3}$