$y = x^3(x-4)$ のグラフと異なる2点で接する直線の式を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = x^3(x-4)$ のグラフと異なる2点で接する直線の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^3(x-4) = x^4 - 4x^3$ とおきます。求める直線を $y = ax+b$ とします。

$x^4 - 4x^3 = ax+b$

$x^4 - 4x^3 - ax - b = 0$

この4次方程式が2重解を2つ持つ条件を考えます。2つの接点の$x$座標を$\alpha$, $\beta$とすると ($\alpha \ne \beta$)、左辺は $(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$ と因数分解できるはずです。

$(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 = (x^2 - 2\alpha x + \alpha^2)(x^2 - 2\beta x + \beta^2) = x^4 - 2(\alpha+\beta)x^3 + (\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2)x^2 - 2\alpha\beta(\alpha+\beta)x + \alpha^2\beta^2$

係数を比較します。

$x^3$ の係数: $-2(\alpha+\beta) = -4$ より、$\alpha+\beta = 2$

$x^2$ の係数: $\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2 = 0$

$x$ の係数: $-2\alpha\beta(\alpha+\beta) = -a$

定数項: $\alpha^2\beta^2 = -b$

$\alpha+\beta=2$を$\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2 = 0$に代入します。

$\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 + 2\alpha\beta = 0$

$(\alpha+\beta)^2 + 2\alpha\beta = 0$

$2^2 + 2\alpha\beta = 0$

$4 + 2\alpha\beta = 0$

$\alpha\beta = -2$

$a = 2\alpha\beta(\alpha+\beta) = 2(-2)(2) = -8$

$b = -\alpha^2\beta^2 = -(\alpha\beta)^2 = -(-2)^2 = -4$

したがって、求める直線は $y = -8x - 4$ です。

3. 最終的な答え

$y = -8x - 4$