分母に根号を含む分数 $\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

分母に根号を含む分数 $\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するためには、分母の共役な複素数を分母と分子に掛けます。

この場合、$\sqrt{k} + \sqrt{k+1}$ の共役な複素数は $\sqrt{k} - \sqrt{k+1}$ です。

したがって、$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ の分母と分子に $\sqrt{k} - \sqrt{k+1}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \times \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}$

分子は $\sqrt{k} - \sqrt{k+1}$ となります。

分母は $(\sqrt{k} + \sqrt{k+1})(\sqrt{k} - \sqrt{k+1}) = (\sqrt{k})^2 - (\sqrt{k+1})^2 = k - (k+1) = k - k - 1 = -1$ となります。

したがって、

$\frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{-1} = -(\sqrt{k} - \sqrt{k+1}) = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$