放物線 $y = -x^2 + 6x + 1$ は、放物線 $y = -x^2 - 2x + 3$ をどのように平行移動したものか。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 6x + 1$ は、放物線 $y = -x^2 - 2x + 3$ をどのように平行移動したものか。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの放物線を平方完成して、頂点の座標を求めます。

放物線 $y = -x^2 + 6x + 1$ について、

\begin{align*}

y &= -(x^2 - 6x) + 1 \\

&= -(x^2 - 6x + 9 - 9) + 1 \\

&= -(x - 3)^2 + 9 + 1 \\

&= -(x - 3)^2 + 10

\end{align*}

よって、頂点の座標は $(3, 10)$ です。

次に、放物線 $y = -x^2 - 2x + 3$ について、

\begin{align*}

y &= -(x^2 + 2x) + 3 \\

&= -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3 \\

&= -(x + 1)^2 + 1 + 3 \\

&= -(x + 1)^2 + 4

\end{align*}

よって、頂点の座標は $(-1, 4)$ です。

放物線 $y = -x^2 - 2x + 3$ の頂点 $(-1, 4)$ を、放物線 $y = -x^2 + 6x + 1$ の頂点 $(3, 10)$ に移動させる平行移動を考えます。

$x$ 軸方向に $p$、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動するとすると、

\begin{align*}

-1 + p &= 3 \\

4 + q &= 10

\end{align*}

これらの式を解くと、

\begin{align*}

p &= 3 + 1 = 4 \\

q &= 10 - 4 = 6

\end{align*}

したがって、$x$ 軸方向に 4、$y$ 軸方向に 6 だけ平行移動することになります。

3. 最終的な答え

$x$ 軸方向に 4, $y$ 軸方向に 6 だけ平行移動