問題1は、与えられた連立一次方程式 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 \\ 1 & -1 & -5 & 5 \\ 3 & -4 & -17 & 18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ -6 \end{bmatrix}$ を解くことです。 問題2は、与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列が存在するような $a$ の値を求め、そのときの逆行列を求めることです。

1. 問題の内容

問題1は、与えられた連立一次方程式

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 \\ 1 & -1 & -5 & 5 \\ 3 & -4 & -17 & 18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ -6 \end{bmatrix}$

を解くことです。

問題2は、与えられた行列

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \end{bmatrix}$

の逆行列が存在するような $a$ の値を求め、そのときの逆行列を求めることです。

2. 解き方の手順

問題1：連立一次方程式を解く

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\ 1 & -1 & -5 & 5 & | & -4 \\ 3 & -4 & -17 & 18 & | & -6 \end{bmatrix}$

次に、行基本変形を行い、階段行列に変形します。

2行目から1行目を引きます：

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -3 & | & -1 \\ 3 & -4 & -17 & 18 & | & -6 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引きます：

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -3 & | & -1 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & | & 3 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます：

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -3 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 5 \end{bmatrix}$

最後の行は $0 = 5$ を意味し、これは矛盾です。したがって、この連立一次方程式は解を持ちません。

問題2：逆行列が存在する $a$ の値を求める

行列 $A$ の逆行列が存在するためには、行列式 $\det(A)$ が 0 でない必要があります。

$\det(A) = 1(a(-1) - 1(1)) - (-1)(1(-1) - 1(a)) + (-a)(1(1) - a(a))$

$= -a - 1 + (-1 + a) - a(1 - a^2)$

$= -a - 1 - 1 + a - a + a^3$

$= a^3 - a - 2$

$\det(A) = a^3 - a - 2 = (a - 2)(a^2 + a + 1) = 0$

$a^2 + a + 1 = 0$ は実数解を持たないため、実数解は $a = 2$ のみです。

したがって、逆行列が存在するためには $a \neq 2$ である必要があります。

$a \neq 2$ のとき、逆行列を求めます。

行列 $A$ の余因子行列を $C$ とすると

$C_{11} = -a - 1, C_{12} = 1 + a, C_{13} = 1 - a^2$

$C_{21} = -(-1 - a) = 1 + a, C_{22} = -1 - a^2, C_{23} = -(1 + a)$

$C_{31} = -1 - a, C_{32} = -(1 + a), C_{33} = a + 1$

$C = \begin{bmatrix} -a - 1 & 1 + a & 1 - a^2 \\ 1 + a & -1 - a^2 & -(1 + a) \\ -1 - a & -(1 + a) & a + 1 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{a^3 - a - 2} \begin{bmatrix} -a - 1 & 1 + a & -1 - a \\ 1 + a & -1 - a^2 & -(1 + a) \\ 1 - a^2 & -(1 + a) & a + 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

問題1：解なし

問題2：$a \neq 2$ のとき、$A^{-1} = \frac{1}{a^3 - a - 2} \begin{bmatrix} -a - 1 & 1 + a & -1 - a \\ 1 + a & -1 - a^2 & -(1 + a) \\ 1 - a^2 & -(1 + a) & a + 1 \end{bmatrix}$

$a = 2$のとき、逆行列は存在しません。