与えられた二次関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求め、そのときの $x$ の値を求める。 (1) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 4$) (2) $y = -x^2 + 6x + 5$ ($1 \le x \le 4$)

1. 問題の内容

与えられた二次関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求め、そのときの $x$ の値を求める。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 4$)

(2) $y = -x^2 + 6x + 5$ ($1 \le x \le 4$)

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 4$)

平方完成を行う。

$y = 2(x^2 - 2x) + 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 2((x-1)^2 - 1) + 1$

$y = 2(x-1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x-1)^2 - 1$

これは下に凸なグラフである。軸は $x = 1$ で、定義域 $0 \le x \le 4$ に含まれている。

$x = 1$ のとき、最小値 $y = -1$

$x = 4$ のとき、最大値 $y = 2(4-1)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 18 - 1 = 17$

(2) $y = -x^2 + 6x + 5$ ($1 \le x \le 4$)

平方完成を行う。

$y = -(x^2 - 6x) + 5$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + 5$

$y = -((x-3)^2 - 9) + 5$

$y = -(x-3)^2 + 9 + 5$

$y = -(x-3)^2 + 14$

これは上に凸なグラフである。軸は $x = 3$ で、定義域 $1 \le x \le 4$ に含まれている。

$x = 3$ のとき、最大値 $y = 14$

$x = 1$ のとき、 $y = -(1-3)^2 + 14 = -(-2)^2 + 14 = -4 + 14 = 10$

$x = 4$ のとき、 $y = -(4-3)^2 + 14 = -(1)^2 + 14 = -1 + 14 = 13$

よって、最小値は $x = 1$ のときの $y = 10$

3. 最終的な答え

(1)

最大値: 17 ($x = 4$ のとき)

最小値: -1 ($x = 1$ のとき)

(2)

最大値: 14 ($x = 3$ のとき)

最小値: 10 ($x = 1$ のとき)