与えられた2次関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求める問題です。 (1) $y = x^2 + 4x + 1$ ($-1 \le x \le 1$) (2) $y = -2x^2 + 12x - 9$ ($1 \le x \le 2$)

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求める問題です。

(1) $y = x^2 + 4x + 1$ ($-1 \le x \le 1$)

(2) $y = -2x^2 + 12x - 9$ ($1 \le x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 4x + 1$ の場合：

まず、平方完成を行います。

$y = (x^2 + 4x) + 1 = (x^2 + 4x + 4) + 1 - 4 = (x + 2)^2 - 3$

頂点の座標は $(-2, -3)$ です。定義域は $-1 \le x \le 1$ です。

軸 $x = -2$ は定義域の外にあるので、定義域の両端での値を調べます。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 + 4(-1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2$

$x = 1$ のとき、$y = (1)^2 + 4(1) + 1 = 1 + 4 + 1 = 6$

したがって、最大値は6 ($x = 1$ のとき)、最小値は-2 ($x = -1$ のとき)です。

(2) $y = -2x^2 + 12x - 9$ の場合：

まず、平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - 6x) - 9 = -2(x^2 - 6x + 9) - 9 + 18 = -2(x - 3)^2 + 9$

頂点の座標は $(3, 9)$ です。定義域は $1 \le x \le 2$ です。

軸 $x = 3$ は定義域の外にあるので、定義域の両端での値を調べます。

$x = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 + 12(1) - 9 = -2 + 12 - 9 = 1$

$x = 2$ のとき、$y = -2(2)^2 + 12(2) - 9 = -8 + 24 - 9 = 7$

したがって、最大値は7 ($x = 2$ のとき)、最小値は1 ($x = 1$ のとき)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 6 ($x = 1$ のとき), 最小値: -2 ($x = -1$ のとき)

(2) 最大値: 7 ($x = 2$ のとき), 最小値: 1 ($x = 1$ のとき)