関数 $y = -2x^2 + 4x + c$ の $-2 \le x \le 2$ における最小値が $-9$ であるとき、定数 $c$ の値を求め、さらにこの関数の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^2 + 4x + c$ の $-2 \le x \le 2$ における最小値が $-9$ であるとき、定数 $c$ の値を求め、さらにこの関数の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 4x + c = -2(x^2 - 2x) + c = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + c = -2((x-1)^2 - 1) + c = -2(x-1)^2 + 2 + c$

よって、

$y = -2(x-1)^2 + 2 + c$

この関数のグラフは上に凸の放物線で、軸は $x = 1$ です。定義域 $-2 \le x \le 2$ において、軸 $x = 1$ は定義域に含まれているので、頂点で最大値をとります。

最小値を考えるために、定義域の端の値を調べます。$x = -2$ のとき、

$y = -2(-2)^2 + 4(-2) + c = -8 - 8 + c = -16 + c$

$x = 2$ のとき、

$y = -2(2)^2 + 4(2) + c = -8 + 8 + c = c$

軸 $x=1$ が定義域の中央にあるため、$x=-2$ と $x=2$ のどちらが最小値を与えるかを判断する必要があります。

$x=1$を中心として、$x=-2$は左に3、 $x=2$は右に1離れています。上に凸な放物線なので、$x=-2$の方が遠く離れており、$x=-2$のときに最小値をとります。よって、

$-16 + c = -9$

$c = 7$

次に、最大値を求めます。軸 $x = 1$ が定義域に含まれているので、$x = 1$ のとき最大値をとります。

$x = 1$ のとき、

$y = -2(1-1)^2 + 2 + c = 2 + c$

$c = 7$ を代入すると、

$y = 2 + 7 = 9$

3. 最終的な答え

$c = 7$

最大値は $9$ で、$x = 1$ のときです。