与えられた2つの2次関数の、指定された定義域における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($-1 \le x < 2$) (2) $y = -x^2 + 6x$ ($0 < x \le 4$)

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数の、指定された定義域における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($-1 \le x < 2$)

(2) $y = -x^2 + 6x$ ($0 < x \le 4$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($-1 \le x < 2$)

平方完成します。

$y = (x - 1)^2 - 1 + 3$

$y = (x - 1)^2 + 2$

このグラフは下に凸の放物線で、頂点は $(1, 2)$ です。

定義域 $-1 \le x < 2$ における $y$ の値を考えます。

$x = -1$ のとき、 $y = (-1 - 1)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

$x = 1$ のとき、 $y = (1 - 1)^2 + 2 = 2$

$x = 2$ のとき、 $y = (2 - 1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$x = -1$ で最大値 $6$ をとります。

$x = 1$ で最小値 $2$ をとります。

$x = 2$ は定義域に含まれないため、最大値は存在しません。

(2) $y = -x^2 + 6x$ ($0 < x \le 4$)

平方完成します。

$y = -(x^2 - 6x)$

$y = -(x - 3)^2 + 9$

このグラフは上に凸の放物線で、頂点は $(3, 9)$ です。

定義域 $0 < x \le 4$ における $y$ の値を考えます。

$x = 0$ のとき、 $y = -(0 - 3)^2 + 9 = -9 + 9 = 0$

$x = 3$ のとき、 $y = -(3 - 3)^2 + 9 = 9$

$x = 4$ のとき、 $y = -(4 - 3)^2 + 9 = -1 + 9 = 8$

$x = 3$ で最大値 $9$ をとります。

$x = 0$ は定義域に含まれないため、最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1)

最大値：$x = -1$ のとき $y = 6$

最小値：$x = 1$ のとき $y = 2$

(2)

最大値：$x = 3$ のとき $y = 9$

最小値：なし