与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の4つの数列の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 5$ (2) $a_1 = 4, a_{n+1} = a_n - 2$ (3) $a_1 = 2, a_{n+1} = 5a_n$ (4) $a_1 = 5, a_{n+1} = -3a_n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の4つの数列の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 5$

(2) $a_1 = 4, a_{n+1} = a_n - 2$

(3) $a_1 = 2, a_{n+1} = 5a_n$

(4) $a_1 = 5, a_{n+1} = -3a_n$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} - a_n = 5$ より、この数列は公差5の等差数列です。

一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で求められます。

(2) $a_{n+1} = a_n - 2$ より、この数列は公差-2の等差数列です。

一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で求められます。

(3) $a_{n+1} = 5a_n$ より、この数列は公比5の等比数列です。

一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で求められます。

(4) $a_{n+1} = -3a_n$ より、この数列は公比-3の等比数列です。

一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で求められます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 1 + (n-1) \times 5 = 1 + 5n - 5 = 5n - 4$

(2) $a_n = 4 + (n-1) \times (-2) = 4 - 2n + 2 = 6 - 2n$

(3) $a_n = 2 \times 5^{n-1}$

(4) $a_n = 5 \times (-3)^{n-1}$

それぞれの場合の一般項は以下のようになります。

(1) $a_n = 5n - 4$

(2) $a_n = 6 - 2n$

(3) $a_n = 2 \cdot 5^{n-1}$

(4) $a_n = 5 \cdot (-3)^{n-1}$