問題4の(1), (2), (3)と問題5の数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 問題4 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3$ (2) $a_1 = 0, a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2}a_n$ (3) $a_1 = 1, 2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ 問題5 $a_1 = \frac{1}{2}, a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$

1. 問題の内容

問題4の(1), (2), (3)と問題5の数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

問題4

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3$

(2) $a_1 = 0, a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2}a_n$

(3) $a_1 = 1, 2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$

問題5

$a_1 = \frac{1}{2}, a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$

2. 解き方の手順

問題4

(1) $a_{n+1} = 2a_n + 3$

この漸化式は、$a_{n+1} + \alpha = 2(a_n + \alpha)$ と変形できる。

$\alpha = 2\alpha + 3$ より $\alpha = -3$

$a_{n+1} - 3 = 2(a_n - 3)$

$b_n = a_n - 3$ とおくと、$b_1 = a_1 - 3 = 1-3 = -2$

$b_{n+1} = 2b_n$

$b_n$ は初項 $-2$, 公比 $2$ の等比数列なので、

$b_n = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$

$a_n = b_n + 3 = -2^n + 3$

(2) $a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2}a_n$

$a_{n+1} - \alpha = -\frac{1}{2}(a_n - \alpha)$ と変形できる。

$\alpha = 1 - \frac{1}{2}\alpha$ より $\frac{3}{2}\alpha = 1$ よって $\alpha = \frac{2}{3}$

$a_{n+1} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{2}(a_n - \frac{2}{3})$

$b_n = a_n - \frac{2}{3}$ とおくと、$b_1 = a_1 - \frac{2}{3} = 0 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$

$b_{n+1} = -\frac{1}{2}b_n$

$b_n$ は初項 $-\frac{2}{3}$, 公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列なので、

$b_n = -\frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n = b_n + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1} + \frac{2}{3}$

(3) $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n - 1$

$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{2}(a_n - \alpha)$ と変形できる。

$\alpha = \frac{1}{2}\alpha - 1$ より $\frac{1}{2}\alpha = -1$ よって $\alpha = -2$

$a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2}(a_n + 2)$

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_1 = a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$

$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$

$b_n$ は初項 $3$, 公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列なので、

$b_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n = b_n - 2 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 2$

問題5

$a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$

両辺の逆数をとると

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3a_n + 1}{a_n} = 3 + \frac{1}{a_n}$

$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$b_{n+1} = 3 + b_n$

$b_n$ は初項 $2$, 公差 $3$ の等差数列なので、

$b_n = 2 + (n-1)3 = 3n - 1$

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{3n-1}$

3. 最終的な答え

問題4

(1) $a_n = -2^n + 3$

(2) $a_n = -\frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1} + \frac{2}{3}$

(3) $a_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 2$

問題5

$a_n = \frac{1}{3n-1}$