関数 $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) - 1$ の最大値、最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) - 1$ の最大値、最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 2x$ を $t$ とおく。すると、与えられた関数は

$y = t^2 + 4t - 1$

と表せる。

この式を平方完成すると、

$y = (t+2)^2 - 5$

となる。

したがって、$t = -2$ のとき、$y$ は最小値 $-5$ をとる。

ここで、$t = x^2 - 2x$ であったから、$t = -2$ となる $x$ の値を求める。

$x^2 - 2x = -2$

$x^2 - 2x + 2 = 0$

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$

であるから、実数解を持たない。

したがって、$t = -2$ となる $x$ は存在しない。

次に、$x^2 - 2x$ の値域を求める。

$t = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$

よって、$t \geq -1$ である。

したがって、$y = (t+2)^2 - 5$ において、$t \geq -1$ であるから、$t = -1$ のとき、$y$ は最小値をとる。

$t = -1$ のとき、$y = (-1+2)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$

また、$(t+2)^2$ は $t$ が大きくなるほど大きくなるので、$y$ は最大値を持たない。

$t = x^2 - 2x = -1$ のとき、

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

3. 最終的な答え

最小値：-4 （x=1のとき）

最大値：なし