与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める問題です。 (3) $y=-\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{3}{2}$ (4) $y=\frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める問題です。

(3) $y=-\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{3}{2}$

(4) $y=\frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(3)

まず、$x^2$の係数で$x$の項までをくくります。

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - \frac{3}{2}$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 - 2x$ を平方完成するには、$x$の係数の半分である$-1$の2乗である$1$を足して引きます。

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) - \frac{3}{2}$

括弧を外します。

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 - 1$

したがって、頂点の座標は$(1, -1)$です。

(4)

まず、$x^2$の係数で$x$の項までをくくります。

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 3x) + \frac{1}{2}$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 + 3x$ を平方完成するには、$x$の係数の半分である$\frac{3}{2}$の2乗である$\frac{9}{4}$を足して引きます。

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{3}((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + \frac{1}{2}$

括弧を外します。

$y = \frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

$y = \frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

したがって、頂点の座標は$(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$です。

3. 最終的な答え

(3) 頂点の座標: $(1, -1)$

(4) 頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$