与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ のグラフを、以下の条件で移動させたときの放物線の方程式を求めます。 (1) $x$軸方向に-5、$y$軸方向に4だけ平行移動 (2) 頂点が点(2, 1)になるように平行移動 (3) $y$軸に関して対称に移動 (4) 原点に関して対称に移動

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ のグラフを、以下の条件で移動させたときの放物線の方程式を求めます。

(1) $x$軸方向に-5、$y$軸方向に4だけ平行移動

(2) 頂点が点(2, 1)になるように平行移動

(3) $y$軸に関して対称に移動

(4) 原点に関して対称に移動

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = 2(x-1)^2 - 2 + 1 = 2(x-1)^2 - 1$

したがって、元の放物線の頂点は (1, -1) です。

(1) $x$軸方向に-5、$y$軸方向に4だけ平行移動する場合、移動後の頂点は (1-5, -1+4) = (-4, 3) となります。平行移動では $x^2$ の係数は変化しないので、移動後の放物線の方程式は

$y = 2(x + 4)^2 + 3 = 2(x^2 + 8x + 16) + 3 = 2x^2 + 16x + 32 + 3 = 2x^2 + 16x + 35$

となります。

(2) 頂点が点(2, 1)になるように平行移動する場合、$x^2$ の係数は変化しないので、移動後の放物線の方程式は

$y = 2(x - 2)^2 + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) + 1 = 2x^2 - 8x + 8 + 1 = 2x^2 - 8x + 9$

となります。

(3) $y$軸に関して対称に移動する場合、$x$ を $-x$ に置き換えます。

$y = 2(-x)^2 - 4(-x) + 1 = 2x^2 + 4x + 1$

となります。

(4) 原点に関して対称に移動する場合、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えます。

$-y = 2(-x)^2 - 4(-x) + 1 = 2x^2 + 4x + 1$

したがって、

$y = -2x^2 - 4x - 1$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 + 16x + 35$

(2) $y = 2x^2 - 8x + 9$

(3) $y = 2x^2 + 4x + 1$

(4) $y = -2x^2 - 4x - 1$