与えられた数式は、総和の記号 $\Sigma$ を使った計算問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n-1} k(k+4)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数式は、総和の記号 $\Sigma$ を使った計算問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n-1} k(k+4)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$k(k+4)$ を展開します。

$k(k+4) = k^2 + 4k$

次に、総和の性質を利用して、与式を２つの総和に分解します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + 4k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k$

ここで、次の総和の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を適用するために、まず$n$を$n-1$に置き換えます。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$= \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{12(n-1)n}{6}$

$= \frac{(n-1)n(2n-1+12)}{6}$

$= \frac{(n-1)n(2n+11)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(2n+11)}{6}$