$x^4 - 25$ を、係数の範囲を有理数、実数、複素数とした場合に、それぞれ因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 - 25$ を、係数の範囲を有理数、実数、複素数とした場合に、それぞれ因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 25$ を因数分解する。

$x^4 - 25 = (x^2)^2 - 5^2$ なので、和と差の積の公式を用いると、

$$x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5)$$

となる。

(1) 有理数の範囲で因数分解する場合：

$x^2 - 5$ をさらに因数分解しようとすると、$x = \pm\sqrt{5}$ となる。$\sqrt{5}$ は無理数であるため、有理数の範囲では、$x^2-5$ は因数分解できない。

$x^2 + 5$ をさらに因数分解しようとすると、$x = \pm\sqrt{-5}$ となる。これは虚数であるため、有理数の範囲では、$x^2+5$ は因数分解できない。

したがって、有理数の範囲での因数分解は

$x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5)$ となる。

(2) 実数の範囲で因数分解する場合：

$x^2 - 5$ は、$x^2 - (\sqrt{5})^2$ と見なせるので、和と差の積の公式を用いると、

$$x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$$

$x^2 + 5$ をさらに因数分解しようとすると、$x = \pm\sqrt{-5}$ となる。これは虚数であるため、実数の範囲では、$x^2+5$ は因数分解できない。

したがって、実数の範囲での因数分解は

$x^4 - 25 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 5)$ となる。

(3) 複素数の範囲で因数分解する場合：

$x^2 + 5$ は、$x^2 - (-5)$ と見なせるので、$x^2 - (i\sqrt{5})^2$ と変形できる。よって和と差の積の公式を用いると、

$$x^2 + 5 = (x - i\sqrt{5})(x + i\sqrt{5})$$

したがって、複素数の範囲での因数分解は

$x^4 - 25 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i\sqrt{5})(x + i\sqrt{5})$ となる。

3. 最終的な答え

有理数: $(x^2 - 5)(x^2 + 5)$

実数: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 5)$

複素数: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i\sqrt{5})(x + i\sqrt{5})$