与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) $x=1$ で最大値3をとり、$x=2$ のとき $y=1$ となる2次関数を求めます。 (2) $x=2$ で最小値-4をとり、$x=4$ のとき $y=8$ となる2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) $x=1$ で最大値3をとり、$x=2$ のとき $y=1$ となる2次関数を求めます。

(2) $x=2$ で最小値-4をとり、$x=4$ のとき $y=8$ となる2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

最大値が与えられているので、2次関数を $y = a(x-1)^2 + 3$ とおくことができます。

$x=1$で最大値をとるので、2次の係数$a$は負の値である必要があります。

$x=2$ のとき $y=1$ なので、これを代入すると

$1 = a(2-1)^2 + 3$

$1 = a + 3$

$a = -2$

したがって、$y = -2(x-1)^2 + 3 = -2(x^2 - 2x + 1) + 3 = -2x^2 + 4x - 2 + 3 = -2x^2 + 4x + 1$

(2)

最小値が与えられているので、2次関数を $y = a(x-2)^2 - 4$ とおくことができます。

$x=2$で最小値をとるので、2次の係数$a$は正の値である必要があります。

$x=4$ のとき $y=8$ なので、これを代入すると

$8 = a(4-2)^2 - 4$

$8 = 4a - 4$

$12 = 4a$

$a = 3$

したがって、$y = 3(x-2)^2 - 4 = 3(x^2 - 4x + 4) - 4 = 3x^2 - 12x + 12 - 4 = 3x^2 - 12x + 8$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 4x + 1$

(2) $y = 3x^2 - 12x + 8$