与えられた4x4行列Aの行列式$|A|$を計算します。 $A = \begin{pmatrix} 0 & 9 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

## 問題2.(1)

1. 問題の内容

与えられた4x4行列Aの行列式$|A|$を計算します。

$A = \begin{pmatrix} 0 & 9 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、余因子展開を用いる。

1行目について展開すると、

$|A| = 0 \cdot C_{11} + 9 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14} = 9 \cdot C_{12} + C_{14}$

ここで、$C_{ij}$は$(i,j)$成分の余因子を表す。

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

それぞれの3x3行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(0 - (-2)) - 3(0 - (-1)) + 0 = 2(2) - 3(1) = 4-3 = 1$

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(8-0) - 0 + 3(0-4) = 16 - 12 = 4$

したがって、$C_{12} = -1$、$C_{14} = -4$。

$|A| = 9(-1) + (-4) = -9 - 4 = -13$

3. 最終的な答え

$|A| = -13$

## 問題2.(2)

1. 問題の内容

与えられた4x4行列Aの行列式$|A|$を計算します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & -5 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形と余因子展開を用いる。

まず、1行目を基準に、2行目に-2倍を加える、4行目に2倍を加える。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & -5 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & -5 & -6 & -1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \end{vmatrix}$

1列目について余因子展開すると、

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & -5 & -6 & -1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -5 & -6 & -1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} -5 & -6 & -1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix} = -5 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} - (-6) \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = -5(3) + 6(12) - 1(12-3) = -15 + 72 - 9 = 48$

3. 最終的な答え

$|A| = 48$