## 問題の内容

## 問題の内容

次の条件によって定められる数列 ${a_n}$ の一般項を求めよ。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = 4^n$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$

## 解き方の手順

**(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = 4^n$ の場合**

1. 漸化式から、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $4^n$ であることがわかる。

2. $n \geq 2$ のとき、数列の一般項 $a_n$ は以下のように表せる。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$

3. 初項 $a_1 = 1$ を代入し、等比数列の和の公式を用いて計算する。

$a_n = 1 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4 - 1}$

$a_n = 1 + \frac{4^n - 4}{3}$

$a_n = \frac{4^n - 1}{3}$

4. $n = 1$ のとき、 $a_1 = \frac{4^1 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ となり、$a_1 = 1$ を満たす。よって、$n = 1$ の場合もこの式で表せる。

**(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ の場合**

1. 漸化式から、$a_{n+1} - a_n = 3n - 1$ であることがわかる。これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $3n-1$ であることを示している。

2. $n \geq 2$ のとき、数列の一般項 $a_n$ は以下のように表せる。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$

3. 初項 $a_1 = 1$ を代入し、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ を用いて計算する。

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$

$a_n = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n - 1)$

$a_n = 1 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - n + 1$

$a_n = \frac{2 + 3n^2 - 3n - 2n + 2}{2}$

$a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$

4. $n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{3(1)^2 - 5(1) + 4}{2} = \frac{3 - 5 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、$a_1 = 1$ を満たす。よって、$n = 1$ の場合もこの式で表せる。

## 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{4^n - 1}{3}$

(2) $a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$