与えられた連立一次方程式を解く問題です。方程式は行列形式で、$Ax = b$ と表されています。ここで、 $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 \\ 1 & -1 & -5 & 5 \\ 3 & -4 & -17 & 18 \end{bmatrix}$, $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ -6 \end{bmatrix}$ です。

## 問1

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。方程式は行列形式で、$Ax = b$ と表されています。ここで、

$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 \\ 1 & -1 & -5 & 5 \\ 3 & -4 & -17 & 18 \end{bmatrix}$,

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}$,

$b = \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ -6 \end{bmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を解くために、拡大係数行列を作り、行基本変形を行って階段行列に変形させます。その後、後退代入を用いて解を求めます。

拡大係数行列は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\ 1 & -1 & -5 & 5 & | & -4 \\ 3 & -4 & -17 & 18 & | & -6 \end{bmatrix}$

(2行目) - (1行目):

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -3 & | & -1 \\ 3 & -4 & -17 & 18 & | & -6 \end{bmatrix}$

(3行目) - 3 * (1行目):

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -3 & | & -1 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & | & 3 \end{bmatrix}$

(3行目) - 2 * (2行目):

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 & 8 & | & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -3 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 5 \end{bmatrix}$

最後の行は $0 = 5$ を意味し、これは矛盾しています。したがって、この連立一次方程式は解を持ちません。

3. 最終的な答え

解なし

## 問2

1. 問題の内容

与えられた行列$A$の逆行列が存在するための$a$の値を求め、その時の逆行列を求める問題です。ここで、

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \end{bmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の逆行列が存在するためには、行列式 $\det(A)$ が 0 でない必要があります。まず、$\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = 1(a(-1) - 1(1)) - (-1)(1(-1) - a(a)) + (-a)(1(1) - a(a))$

$= -a - 1 + (-1 + a^2) - a(1 - a^2)$

$= -a - 1 - 1 + a^2 - a + a^3$

$= a^3 + a^2 - 2a - 2$

$= a^2(a + 1) - 2(a + 1)$

$= (a^2 - 2)(a + 1)$

逆行列が存在するためには、$\det(A) \neq 0$ である必要があります。つまり、

$(a^2 - 2)(a + 1) \neq 0$.

これは、$a \neq -1$ かつ $a \neq \pm \sqrt{2}$ を意味します。

次に、$a$ の値が条件を満たす場合の逆行列を求めます。逆行列の公式は $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$ です。ここで、$\text{adj}(A)$ は $A$ の余因子行列の転置です。

余因子行列を計算します。

$C_{11} = a(-1) - 1(1) = -a - 1$

$C_{12} = -(1(-1) - a(a)) = 1 - a^2$

$C_{13} = 1(1) - a(a) = 1 - a^2$

$C_{21} = -(-1(-1) - (-a)(1)) = -(1 + a) = -1 - a$

$C_{22} = 1(-1) - a(a) = -1 - a^2$

$C_{23} = -(1(1) - (-1)(a)) = -(1 + a) = -1 - a$

$C_{31} = -1(1) - (-a)(a) = -1 + a^2$

$C_{32} = -(1(1) - (-a)(1)) = -(1 + a) = -1 - a$

$C_{33} = 1(a) - (-1)(1) = a + 1$

余因子行列は

$\begin{bmatrix} -a - 1 & 1 - a^2 & 1 - a^2 \\ -1 - a & -1 - a^2 & -1 - a \\ -1 + a^2 & -1 - a & a + 1 \end{bmatrix}$

随伴行列（余因子行列の転置）は

$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -a - 1 & -1 - a & -1 + a^2 \\ 1 - a^2 & -1 - a^2 & -1 - a \\ 1 - a^2 & -1 - a & a + 1 \end{bmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \frac{1}{(a^2 - 2)(a + 1)} \begin{bmatrix} -a - 1 & -1 - a & -1 + a^2 \\ 1 - a^2 & -1 - a^2 & -1 - a \\ 1 - a^2 & -1 - a & a + 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

逆行列が存在するための$a$の値は $a \neq -1, a \neq \sqrt{2}, a \neq -\sqrt{2}$ です。

逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{(a^2 - 2)(a + 1)} \begin{bmatrix} -a - 1 & -1 - a & -1 + a^2 \\ 1 - a^2 & -1 - a^2 & -1 - a \\ 1 - a^2 & -1 - a & a + 1 \end{bmatrix}$

です。