$a = \frac{3+\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}$, $b = \left|\frac{1}{a}-5\right|$ とするとき、 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a-b$ の値を求めよ。 (3) $a^2-b^2+ab^2-b^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{3+\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}$, $b = \left|\frac{1}{a}-5\right|$ とするとき、

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a-b$ の値を求めよ。

(3) $a^2-b^2+ab^2-b^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。分母の共役な複素数を分母と分子にかける。

$a = \frac{3+\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} = \frac{(3+\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{9+6\sqrt{7}+7}{9-7} = \frac{16+6\sqrt{7}}{2} = 8+3\sqrt{7}$

(2) $b$ の値を求める。

$b = \left|\frac{1}{a}-5\right| = \left|\frac{1}{8+3\sqrt{7}}-5\right| = \left|\frac{8-3\sqrt{7}}{(8+3\sqrt{7})(8-3\sqrt{7})}-5\right| = \left|\frac{8-3\sqrt{7}}{64-63}-5\right| = |8-3\sqrt{7}-5| = |3-3\sqrt{7}| = 3\sqrt{7}-3$

なぜなら $3\sqrt{7} > 3$ であるから。

$a-b = (8+3\sqrt{7})-(3\sqrt{7}-3) = 8+3\sqrt{7}-3\sqrt{7}+3 = 11$

(3) $a^2-b^2+ab^2-b^3$ の値を求める。

$a^2-b^2+ab^2-b^3 = a^2-b^2+b^2(a-b) = (a-b)(a+b) + b^2(a-b) = (a-b)(a+b+b^2) = (a-b)(a+b+b^2)$

$a-b = 11$

$a+b = (8+3\sqrt{7})+(3\sqrt{7}-3) = 5+6\sqrt{7}$

$b^2 = (3\sqrt{7}-3)^2 = 9(7)-18\sqrt{7}+9 = 63-18\sqrt{7}+9 = 72-18\sqrt{7}$

$a+b+b^2 = (5+6\sqrt{7}) + (72-18\sqrt{7}) = 77-12\sqrt{7}$

$(a-b)(a+b+b^2) = 11(77-12\sqrt{7}) = 847-132\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 8+3\sqrt{7}$

(2) $a-b = 11$

(3) $a^2-b^2+ab^2-b^3 = 847-132\sqrt{7}$