与えられた6つの式について、分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ (2) $\frac{10}{7\sqrt{5}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ (4) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ (5) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ (6) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

はい、承知いたしました。次の式の分母を有理化します。

1. 問題の内容

与えられた6つの式について、分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

(2) $\frac{10}{7\sqrt{5}}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$

(4) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

(5) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

(6) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ の場合：

分子と分母に$\sqrt{6}$をかけます。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{42}}{6}$

(2) $\frac{10}{7\sqrt{5}}$ の場合：

分子と分母に$\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{10}{7\sqrt{5}} = \frac{10 \times \sqrt{5}}{7\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{7 \times 5} = \frac{10\sqrt{5}}{35} = \frac{2\sqrt{5}}{7}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ の場合：

分子と分母に$\sqrt{2}+1$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1 \times (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1) \times (\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{1} = \sqrt{2}+1$

(4) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ の場合：

分子と分母に$2+\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \times (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3}) \times (2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}+3}{4-3} = \frac{2\sqrt{3}+3}{1} = 2\sqrt{3}+3$

(5) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ の場合：

分子と分母に$\sqrt{7}-\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{7 - 2\sqrt{21} + 3}{7-3} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

(6) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ の場合：

分子と分母に$3\sqrt{2}+\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \times (3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-\sqrt{3}) \times (3\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{6 + \sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 3}{18-3} = \frac{9 + 4\sqrt{6}}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{42}}{6}$

(2) $\frac{2\sqrt{5}}{7}$

(3) $\sqrt{2}+1$

(4) $2\sqrt{3}+3$

(5) $\frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

(6) $\frac{9 + 4\sqrt{6}}{15}$