2次不等式 $x^2 + 2mx - m > 0$ の解がすべての実数となるような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + 2mx - m > 0$ の解がすべての実数となるような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ の解がすべての実数となるための条件は、$a > 0$ かつ判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ です。

与えられた2次不等式は $x^2 + 2mx - m > 0$ なので、$a = 1$, $b = 2m$, $c = -m$ です。

$a = 1 > 0$ であるため、$D < 0$ の条件を満たす $m$ の範囲を求めれば良いです。

判別式 $D$ は、

$D = (2m)^2 - 4(1)(-m) = 4m^2 + 4m$

$D < 0$ を解くと

$4m^2 + 4m < 0$

$4m(m + 1) < 0$

$m(m + 1) < 0$

$-1 < m < 0$

3. 最終的な答え

$-1 < m < 0$