放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動した曲線が、$x$軸と $(-2, 0)$ と $(4, 0)$ で交わるとき、平行移動後の放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動した曲線が、$x$軸と $(-2, 0)$ と $(4, 0)$ で交わるとき、平行移動後の放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸と $(-2, 0)$ と $(4, 0)$ で交わる放物線の方程式は、一般的に $y = a(x+2)(x-4)$ と表せます。

これを展開すると、$y = a(x^2 - 2x - 8)$ となります。

$y = ax^2 -2ax - 8a$

元の放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動したものであるので、$x^2$ の係数は同じである必要があります。

したがって、$a = -1$ となります。

$a = -1$ を $y = a(x+2)(x-4)$ に代入すると、$y = -(x+2)(x-4)$となります。

$y = -(x^2 -2x -8) = -x^2 + 2x + 8$

したがって、平行移動後の放物線の方程式は、$y = -x^2 + 2x + 8$ となります。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 2x + 8$