$a$ と $b$ は 0 でない実数である。以下の (1), (2), (3) について、空欄に当てはまるものを選択肢（1. 必要条件であるが、十分条件ではない、2. 十分条件であるが、必要条件ではない、3. 必要十分条件である、4. 必要条件でも十分条件でもない）から選び、その番号を答える。 (1) $a$ と $b$ がともに無理数であることは、$a+b$ と $ab$ がともに無理数であるための（ ）。 (2) $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = 0$ であることは、$a$ と $b$ の少なくとも一方が無理数であるための（ ）。 (3) $a+b$ と $a-b$ のうち、少なくとも一方が無理数であることは、$a$ と $b$ がともに無理数であるための（ ）。

1. 問題の内容

$a$ と $b$ は 0 でない実数である。以下の (1), (2), (3) について、空欄に当てはまるものを選択肢（

1. 必要条件であるが、十分条件ではない、

2. 十分条件であるが、必要条件ではない、

3. 必要十分条件である、

4. 必要条件でも十分条件でもない）から選び、その番号を答える。

(1) $a$ と $b$ がともに無理数であることは、$a+b$ と $ab$ がともに無理数であるための（ ）。

(2) $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = 0$ であることは、$a$ と $b$ の少なくとも一方が無理数であるための（ ）。

(3) $a+b$ と $a-b$ のうち、少なくとも一方が無理数であることは、$a$ と $b$ がともに無理数であるための（ ）。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ がともに無理数であるならば、$a+b$ と $ab$ がともに無理数であるとは限らない。

例：$a = \sqrt{2}, b = -\sqrt{2}$ のとき、$a+b = 0$ は有理数。

$a+b$ と $ab$ がともに無理数であるならば、$a$ と $b$ はともに無理数である。

$a$ または $b$ が有理数ならば、$a+b$ または $ab$ が有理数になる場合があるため。

よって、必要条件であるが、十分条件ではない。

(2) $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = 0$ を仮定する。$a$ と $b$ がともに有理数であると仮定すると、$a=0$ かつ $b=0$ でなければならない。しかし、$a$ と $b$ は 0 でない実数とあるため矛盾する。したがって、$a$ と $b$ の少なくとも一方は無理数である。

逆に、$a$ と $b$ の少なくとも一方が無理数であるならば、$a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = 0$ である。たとえば、$a=\sqrt{3}, b=-\sqrt{2}$ とすれば、$a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = \sqrt{6}-\sqrt{6} = 0$ となる。

$a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = 0$ ならば $b\sqrt{3}=-a\sqrt{2}$ より $3b^2=2a^2$ となる.

ここで、$a$ と $b$ がともに有理数であると仮定すると、$a\sqrt{2} = -b\sqrt{3}$ となり、$a$ と $b$ はともに 0 でないと $a/b = -\sqrt{3/2}$ となり、$a/b$ は無理数となって矛盾する。よって、$a$ と $b$ はともに有理数ではない. つまり、$a$ と $b$ の少なくとも一方は無理数である。

したがって、必要十分条件である。

(3) $a+b$ と $a-b$ のうち、少なくとも一方が無理数であると仮定する。$a$ と $b$ がともに有理数だと仮定すると、$a+b$ と $a-b$ はともに有理数となり矛盾する。よって、$a$ と $b$ の少なくとも一方は無理数である。これは $a$ と $b$ がともに無理数であるための必要条件ではない。

$a$ と $b$ がともに無理数ならば、$a+b$ と $a-b$ はともに無理数とは限らない。例えば、$a = \sqrt{2}, b = -\sqrt{2}$ とすれば、$a+b = 0$ であり、有理数である。

したがって、必要条件でも十分条件でもない。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 3

(3) 4