問題は、不等式 $3 \le |x-2| < 7$ を解くことです。

1. 問題の内容

問題は、不等式 $3 \le |x-2| < 7$ を解くことです。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くためには、絶対値の中身が正の場合と負の場合に分けて考えます。

まず、$|x-2| \ge 3$ を考えます。

(i) $x-2 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のとき、$|x-2| = x-2$ なので、

$x-2 \ge 3$

$x \ge 5$

$x \ge 2$ と $x \ge 5$ の共通範囲は $x \ge 5$ です。

(ii) $x-2 < 0$ つまり $x < 2$ のとき、$|x-2| = -(x-2) = -x+2$ なので、

$-x+2 \ge 3$

$-x \ge 1$

$x \le -1$

$x < 2$ と $x \le -1$ の共通範囲は $x \le -1$ です。

したがって、$|x-2| \ge 3$ の解は $x \le -1$ または $x \ge 5$ です。

次に、$|x-2| < 7$ を考えます。

(i) $x-2 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のとき、$|x-2| = x-2$ なので、

$x-2 < 7$

$x < 9$

$x \ge 2$ と $x < 9$ の共通範囲は $2 \le x < 9$ です。

(ii) $x-2 < 0$ つまり $x < 2$ のとき、$|x-2| = -(x-2) = -x+2$ なので、

$-x+2 < 7$

$-x < 5$

$x > -5$

$x < 2$ と $x > -5$ の共通範囲は $-5 < x < 2$ です。

したがって、$|x-2| < 7$ の解は $-5 < x < 9$ です。

最後に、$3 \le |x-2|$ と $|x-2| < 7$ の共通範囲を求めます。

$x \le -1$ または $x \ge 5$ と $-5 < x < 9$ の共通範囲は $-5 < x \le -1$ または $5 \le x < 9$ です。

3. 最終的な答え

$-5 < x \le -1$ または $5 \le x < 9$