2次関数 $y = -x^2 + 4ax - 6 + 2a$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 頂点の座標を求める。 (2) x軸に接するときの $a$ の値を求める。 (3) $a = -3$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 0$ における値域を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4ax - 6 + 2a$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 頂点の座標を求める。

(2) x軸に接するときの $a$ の値を求める。

(3) $a = -3$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 0$ における値域を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4ax - 6 + 2a$

$y = -(x^2 - 4ax) - 6 + 2a$

$y = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) - 6 + 2a$

$y = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - 6 + 2a$

よって、頂点の座標は $(2a, 4a^2 + 2a - 6)$ となります。

(2) x軸に接するときの $a$ の値を求める。

x軸に接するとき、頂点のy座標が0になります。

$4a^2 + 2a - 6 = 0$

$2a^2 + a - 3 = 0$

$(2a + 3)(a - 1) = 0$

したがって、$a = -\frac{3}{2}, 1$ となります。

(3) $a = -3$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 0$ における値域を求める。

$a = -3$ を代入すると、2次関数は

$y = -x^2 - 12x - 6 - 6$

$y = -x^2 - 12x - 12$

$y = -(x^2 + 12x) - 12$

$y = -(x^2 + 12x + 36 - 36) - 12$

$y = -(x + 6)^2 + 36 - 12$

$y = -(x + 6)^2 + 24$

頂点の座標は $(-6, 24)$ となります。

定義域 $-4 \le x \le 0$ における $y$ の値を考えます。

$x = -4$ のとき、

$y = -(-4 + 6)^2 + 24 = -2^2 + 24 = -4 + 24 = 20$

$x = 0$ のとき、

$y = -(0 + 6)^2 + 24 = -36 + 24 = -12$

また、定義域内に軸 $x = -6$ は含まれていないので、頂点が最大値を与えることはありません。

したがって、最大値は $x = -4$ のときの $y = 20$ で、最小値は $x = 0$ のときの $y = -12$ です。

値域は $-12 \le y \le 20$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は $(2a, 4a^2 + 2a - 6)$ である。

オ: 2

カ: 4

キ: 2

ク: 6

(2) x軸に接するとき、$a = -\frac{3}{2}, 1$ である。

ケコ: 3

サ: 2

シ: 1

(3) $a = -3$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 0$ における値域は $-12 \le y \le 20$ である。

スセソ: -12

タチ: 20