与えられた数の分母を有理化する問題です。与えられた数は $\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数の分母を有理化する問題です。与えられた数は $\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}$ とします。

分母の有理化のため、まずは $(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{7}$ を分母分子にかけます。

$\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}} = \frac{1}{(2 + \sqrt{3}) + \sqrt{7}} \times \frac{(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{7}}{(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{7}}$

$= \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{(2 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{4 + 4\sqrt{3} + 3 - 7} = \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{4\sqrt{3}}$

次に、$\frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{4\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{4\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{21}}{4 \times 3} = \frac{2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{21}}{12}$

3. 最終的な答え

最終的な答えは $\frac{2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{21}}{12}$ です。