$a \geq 0$, $b \geq 0$, $c \geq 0$ を満たす実数 $a, b, c$ に対して、不等式 $\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$a \geq 0$, $b \geq 0$, $c \geq 0$ を満たす実数 $a, b, c$ に対して、不等式

$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$

が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、両辺が非負であることに注意し、両辺を2乗します。

$\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2 \geq \frac{ab+bc+ca}{3}$

$\frac{(a+b+c)^2}{9} \geq \frac{ab+bc+ca}{3}$

両辺に9をかけます。

$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$

左辺を展開します。

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \geq 3ab + 3bc + 3ca$

移項します。

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0$

両辺に2をかけます。

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \geq 0$

$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \geq 0$

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$

実数の2乗は非負なので、この不等式は常に成り立ちます。

したがって、$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$ は成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$

が成り立つ。