$x^4 + 1$ を整式 $P(x)$ で割ったところ、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ で、余りが $17$ であった。このとき、$P(x)$ を求めよ。

## 問題6

1. 問題の内容

$x^4 + 1$ を整式 $P(x)$ で割ったところ、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ で、余りが $17$ であった。このとき、$P(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割り算の原理より、

$x^4 + 1 = P(x)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + 17$

となる。

この式を整理すると、

$P(x)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) = x^4 - 16$

となる。

ここで、$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)$

また、$x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x-2) + 4(x-2) = (x^2+4)(x-2)$

であるから、

$P(x)(x^2+4)(x-2) = (x-2)(x+2)(x^2+4)$

したがって、

$P(x) = x+2$

3. 最終的な答え

$P(x) = x+2$

## 問題7

1. 問題の内容

整式 $Q(x)$ を $x+1$ で割ると余りが $-3$ であり、$x-2$ で割ると余りが $3$ であった。$Q(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

余りの定理より、$Q(-1) = -3$ かつ $Q(2) = 3$。

$x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ であるから、$Q(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りは $ax+b$ と表せる。

したがって、$Q(x) = (x^2 - x - 2)S(x) + ax+b$ (S(x)は商) となる。

$Q(-1) = -a+b = -3$

$Q(2) = 2a+b = 3$

2つの式から $a$ と $b$ を求める。

$2a+b - (-a+b) = 3 - (-3)$

$3a = 6$

$a = 2$

$-2+b = -3$

$b = -1$

したがって、余りは $2x-1$

3. 最終的な答え

$2x-1$

## 問題5

1. 問題の内容

2次式と3次式の2つの整式があり、それらの最大公約数は $2x-1$、最小公倍数は $2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4$ である。この2つの整式を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの整式を $A$ と $B$ とすると、

$A = (2x-1)A'$

$B = (2x-1)B'$

と表せる。ただし、$A'$ と $B'$ は互いに素な整式である。

また、最小公倍数は $LCM(A, B) = (2x-1)A'B'$ と表せる。

したがって、

$(2x-1)A'B' = 2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4$

$A'B' = \frac{2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4}{2x-1}$

筆算等で割り算を行うと、

$A'B' = x^3 + 2x^2 + 2x + 4 = x^2(x+2) + 2(x+2) = (x^2+2)(x+2)$

$A'$ と $B'$ は互いに素であるから、

$A' = x+2, B' = x^2+2$ または $A' = x^2+2, B' = x+2$

2次式と3次式であるから、

$A = (2x-1)(x+2) = 2x^2 + 3x - 2$

$B = (2x-1)(x^2+2) = 2x^3 - x^2 + 4x - 2$

3. 最終的な答え

$2x^2 + 3x - 2$ と $2x^3 - x^2 + 4x - 2$