(1) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開せよ。 (2) (1)の結果を用いて $a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

(1) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開せよ。

(2) (1)の結果を用いて $a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$a+b+c$ を分配法則で展開します。

\begin{align*}

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) &= a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\

&+ b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\

&+ c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

\end{align*}

各項を展開すると、

\begin{align*}

&= a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c \\

&+ a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc \\

&+ a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-ac^2 \\

&= a^3+b^3+c^3-3abc

\end{align*}

(2) (1)の結果より、

$a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

これを利用して、$a^3 + 6ab - 8b^3 + 1 = 0$ を因数分解します。

$a^3 + 1 - 8b^3 + 6ab = a^3 + 1^3 + (-2b)^3 - 3 \cdot a \cdot 1 \cdot (-2b)$

これは $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx)$ の形をしています。

$x = a, y = 1, z = -2b$ とおくと、

\begin{align*}

& a^3 + 1 + (-2b)^3 - 3 \cdot a \cdot 1 \cdot (-2b) \\

&= (a+1-2b)(a^2+1^2+(-2b)^2 - a \cdot 1 - 1 \cdot (-2b) - (-2b) \cdot a) \\

&= (a-2b+1)(a^2+1+4b^2 - a + 2b + 2ab) \\

&= (a-2b+1)(a^2+4b^2+2ab-a+2b+1)

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $a^3+b^3+c^3-3abc$

(2) $(a-2b+1)(a^2+4b^2+2ab-a+2b+1)$