与えられた方程式 $x^2 + 4y^2 - 4x - 12y + 11 = 0$ を満たす全ての整数解 $(x, y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^2 + 4y^2 - 4x - 12y + 11 = 0$ を満たす全ての整数解 $(x, y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $x$ と $y$ について平方完成します。

$x^2 - 4x + 4 + 4y^2 - 12y + 9 - 4 - 9 + 11 = 0$

$(x-2)^2 + (2y-3)^2 = 2$

ここで、$X = x-2$、$Y = 2y-3$ とおくと、方程式は

$X^2 + Y^2 = 2$ となります。

$x$ と $y$ が整数なので、$X$ と $Y$ も整数です。したがって、$X^2$ と $Y^2$ は0以上の整数です。

$X^2 + Y^2 = 2$ を満たす整数の組み合わせは以下の通りです。

(X, Y) = (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)

これらの組み合わせについて、$x$ と $y$ を求めます。

(i) X = 1, Y = 1 のとき

$x - 2 = 1$ より $x = 3$

$2y - 3 = 1$ より $2y = 4$, よって $y = 2$

(ii) X = 1, Y = -1 のとき

$x - 2 = 1$ より $x = 3$

$2y - 3 = -1$ より $2y = 2$, よって $y = 1$

(iii) X = -1, Y = 1 のとき

$x - 2 = -1$ より $x = 1$

$2y - 3 = 1$ より $2y = 4$, よって $y = 2$

(iv) X = -1, Y = -1 のとき

$x - 2 = -1$ より $x = 1$

$2y - 3 = -1$ より $2y = 2$, よって $y = 1$

3. 最終的な答え

したがって、整数解は $(x, y) = (3, 2), (3, 1), (1, 2), (1, 1)$ です。