行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値が小さい順に(1), 6, (2)と与えられている。固有値(1)に対応する固有ベクトル $\overrightarrow{v_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ (3) \\ -1 \end{pmatrix}$、固有値6に対応する固有ベクトル $\overrightarrow{v_2} = \begin{pmatrix} (4) \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$、固有値(2)に対応する固有ベクトル $\overrightarrow{v_3} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ (5) \end{pmatrix}$ が与えられているとき、空欄(1)から(5)に入る整数値を求める問題。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値が小さい順に(1), 6, (2)と与えられている。固有値(1)に対応する固有ベクトル $\overrightarrow{v_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ (3) \\ -1 \end{pmatrix}$、固有値6に対応する固有ベクトル $\overrightarrow{v_2} = \begin{pmatrix} (4) \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$、固有値(2)に対応する固有ベクトル $\overrightarrow{v_3} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ (5) \end{pmatrix}$ が与えられているとき、空欄(1)から(5)に入る整数値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、固有値(1)と固有値(2)を求める。行列Aの固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$で与えられる。しかし、ここでは固有値の一つが6であることがわかっているので、固有ベクトル $\overrightarrow{v_2}$ を利用して空欄(4)を求める。

$A\overrightarrow{v_2} = 6\overrightarrow{v_2}$ より、

$\begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (4) \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 6 \begin{pmatrix} (4) \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 6 \\ 20(4)-20 \\ -2(4)-(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6(4) \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}$

2行目より $20(4)-20 = 0$ なので $20(4) = 20$。 よって、$(4)=1$

$\overrightarrow{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

次に、固有値(1)に対応する固有ベクトル $\overrightarrow{v_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ (3) \\ -1 \end{pmatrix}$ を利用して固有値(1)と空欄(3)を求める。

$A\overrightarrow{v_1} = (1)\overrightarrow{v_1}$ より、(1)を$\lambda_1$、(3)をxとおくと

$\begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ x \\ -1 \end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix} 3 \\ x \\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 21x+6 \\ 60+8x-20 \\ -6-11x-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\lambda_1 \\ x\lambda_1 \\ -\lambda_1 \end{pmatrix}$

1行目: $21x+6 = 3\lambda_1$

2行目: $8x+40 = x\lambda_1$

3行目: $-11x-10 = -\lambda_1$

3行目より $\lambda_1 = 11x+10$。

1行目に代入すると $21x+6 = 3(11x+10) \Rightarrow 21x+6 = 33x+30 \Rightarrow -24 = 12x \Rightarrow x = -2$

よって、$(3) = -2$

$\lambda_1 = 11(-2)+10 = -22+10 = -12$

よって、$(1) = -12$

固有値(2)に対応する固有ベクトル $\overrightarrow{v_3} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ (5) \end{pmatrix}$ を利用して固有値(2)と空欄(5)を求める。

$A\overrightarrow{v_3} = (2)\overrightarrow{v_3}$ より、(2)を$\lambda_2$、(5)をyとおくと

$\begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ y \end{pmatrix} = \lambda_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 42-6y \\ 60+16+20y \\ -6-22+4y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\lambda_2 \\ 2\lambda_2 \\ y\lambda_2 \end{pmatrix}$

1行目: $42-6y = 3\lambda_2$

2行目: $76+20y = 2\lambda_2$

3行目: $4y-28 = y\lambda_2$

1行目より $\lambda_2 = 14-2y$。

2行目に代入すると $76+20y = 2(14-2y) \Rightarrow 76+20y = 28-4y \Rightarrow 48 = -24y \Rightarrow y = -2$

よって、$(5) = -2$

$\lambda_2 = 14 - 2(-2) = 14+4 = 18$

よって、$(2) = 18$

3. 最終的な答え

(1) = -12

(2) = 18

(3) = -2

(4) = 1

(5) = -2