与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ の逆行列を、与えられた選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ の逆行列を、与えられた選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式を計算します。

$det(A) = 5(0 \cdot (-3) - 2 \cdot 0) - (-4)(0 \cdot (-3) - 2 \cdot 3) + (-2)(0 \cdot 0 - 0 \cdot 3) = 5(0) + 4(-6) - 2(0) = -24$

次に、余因子行列を計算します。

$C_{11} = (0 \cdot (-3) - 2 \cdot 0) = 0$

$C_{12} = -(0 \cdot (-3) - 2 \cdot 3) = 6$

$C_{13} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3) = 0$

$C_{21} = -((-4) \cdot (-3) - (-2) \cdot 0) = -12$

$C_{22} = (5 \cdot (-3) - (-2) \cdot 3) = -15 + 6 = -9$

$C_{23} = -(5 \cdot 0 - (-4) \cdot 3) = -12$

$C_{31} = ((-4) \cdot 2 - (-2) \cdot 0) = -8$

$C_{32} = -(5 \cdot 2 - (-2) \cdot 0) = -10$

$C_{33} = (5 \cdot 0 - (-4) \cdot 0) = 0$

余因子行列は

$C = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 0 \\ -12 & -9 & -12 \\ -8 & -10 & 0 \end{pmatrix}$

転置余因子行列（随伴行列）は

$adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} 0 & -12 & -8 \\ 6 & -9 & -10 \\ 0 & -12 & 0 \end{pmatrix}$

逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{-24} \begin{pmatrix} 0 & -12 & -8 \\ 6 & -9 & -10 \\ 0 & -12 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{24} \begin{pmatrix} 0 & 12 & 8 \\ -6 & 9 & 10 \\ 0 & 12 & 0 \end{pmatrix}$

これは選択肢の(1)の $\frac{1}{12} \begin{pmatrix} 0 & 12 & 8 \\ -6 & 9 & 10 \\ 0 & 12 & 0 \end{pmatrix}$ を1/2にしたものではない。

選択肢(5)の $\frac{1}{24} \begin{pmatrix} 0 & 12 & 8 \\ -6 & 9 & 10 \\ 0 & 12 & 0 \end{pmatrix}$ が正しい。

3. 最終的な答え

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