複素数平面上の異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ があり、以下の条件を満たしている。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して点0と反対側にある (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形 (1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

複素数平面上の異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ があり、以下の条件を満たしている。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して点0と反対側にある

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。条件(A)より $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$。したがって $z_1$ を $z_2$ を中心に $\frac{2}{3}\pi$ 回転させれば良い。

$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$ と $\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$ を解く。

まず $\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$ を考える。

$\alpha = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ であるから、

$\frac{1}{2} z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i z_1 = p z_1 + q z_2$

$z_1 = |z_1| e^{i \theta_1}$, $z_2 = |z_2| e^{i \theta_2}$ とおくと、$\theta_1 = \theta_2 + \frac{2}{3}\pi$

$\frac{1}{2} |z_1| e^{i \theta_1} + \frac{\sqrt{3}}{2} i |z_1| e^{i \theta_1} = p |z_1| e^{i \theta_1} + q |z_2| e^{i \theta_2}$

$\frac{1}{2} |z_1| e^{i \theta_1} + \frac{\sqrt{3}}{2} e^{i \frac{\pi}{2}} |z_1| e^{i \theta_1} = p |z_1| e^{i \theta_1} + q |z_2| e^{i \theta_2}$

$\frac{1}{2} |z_1| e^{i \theta_1} + \frac{\sqrt{3}}{2} |z_1| e^{i (\theta_1 + \frac{\pi}{2})} = p |z_1| e^{i \theta_1} + q |z_2| e^{i \theta_2}$

$\frac{1}{2} |z_1| e^{i \theta_1} + \frac{\sqrt{3}}{2} |z_1| e^{i (\theta_2 + \frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{2})} = p |z_1| e^{i \theta_1} + q |z_2| e^{i \theta_2}$

$\frac{1}{2} |z_1| e^{i \theta_1} + \frac{\sqrt{3}}{2} |z_1| e^{i (\theta_2 + \frac{7}{6}\pi)} = p |z_1| e^{i \theta_1} + q |z_2| e^{i \theta_2}$

$e^{i \theta_1} = e^{i (\theta_2 + \frac{2}{3}\pi)}$

$p = \frac{1}{2}$, $q=0$

同様に $\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$ を考える。

$\frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} i z_2 = r z_1 + s z_2$

$\frac{1}{2} |z_2| e^{i \theta_2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i |z_2| e^{i \theta_2} = r |z_1| e^{i \theta_1} + s |z_2| e^{i \theta_2}$

$\frac{1}{2} |z_2| e^{i \theta_2} + \frac{\sqrt{3}}{2} |z_2| e^{i (\theta_2 + \frac{\pi}{2})} = r |z_1| e^{i (\theta_2 + \frac{2}{3}\pi)} + s |z_2| e^{i \theta_2}$

$z_3$ は $z_1$ と $z_2$ を結ぶ直線に関して 0 と反対側にあるから, $z_1$, $z_2$, $z_3$ は正三角形をなす。

$|z_1| = |z_2| = d$ のとき、$z_3 = z_1 \frac{1 + e^{i \pi/3}}{2} + z_2 \frac{1 + e^{-i \pi/3}}{2}$.

(2) $\triangle z_1 z_2 z_3$ が正三角形なので、 $|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$ and $|z_1 - z_2| = |z_1 - z_3|$を満たす。また $\angle z_1 z_3 z_2 = \pi/3$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{1}{2}, q = 0, r = 0, s = \frac{1}{2}$

(2) まだ不明