与えられた関数 $y$ を、$x$ について微分する問題です。以下の6つの関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (15) $y = -\frac{5}{2x^2}$ (16) $y = -\frac{1}{x^4}$ (17) $y = x^{\frac{3}{4}}$ (18) $y = \sqrt[5]{x}$ (19) $y = \sqrt[5]{x^2}$ (20) $y = x \sqrt[4]{x}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を、$x$ について微分する問題です。以下の6つの関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(15) $y = -\frac{5}{2x^2}$

(16) $y = -\frac{1}{x^4}$

(17) $y = x^{\frac{3}{4}}$

(18) $y = \sqrt[5]{x}$

(19) $y = \sqrt[5]{x^2}$

(20) $y = x \sqrt[4]{x}$

2. 解き方の手順

(15) $y = -\frac{5}{2x^2}$ を微分します。

$y = -\frac{5}{2}x^{-2}$ と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{2} (-2) x^{-3} = 5x^{-3} = \frac{5}{x^3}$

(16) $y = -\frac{1}{x^4}$ を微分します。

$y = -x^{-4}$ と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} = -(-4)x^{-5} = 4x^{-5} = \frac{4}{x^5}$

(17) $y = x^{\frac{3}{4}}$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

(18) $y = \sqrt[5]{x}$ を微分します。

$y = x^{\frac{1}{5}}$ と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$

(19) $y = \sqrt[5]{x^2}$ を微分します。

$y = x^{\frac{2}{5}}$ と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} = \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}} = \frac{2}{5\sqrt[5]{x^3}}$

(20) $y = x \sqrt[4]{x}$ を微分します。

$y = x \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{5}{4}}$ と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1} = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}} = \frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$

3. 最終的な答え

(15) $\frac{dy}{dx} = \frac{5}{x^3}$

(16) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{x^5}$

(17) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

(18) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$

(19) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{5\sqrt[5]{x^3}}$

(20) $\frac{dy}{dx} = \frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$