関数 $f(x) = -x + \frac{1}{x^3}$ の増減を調べ、極値があれば求めよ。そして、増減表を完成させ、極大値、極小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x + \frac{1}{x^3}$ の増減を調べ、極値があれば求めよ。そして、増減表を完成させ、極大値、極小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分する。

$f(x) = -x + \frac{1}{x^3} = -x + x^{-3}$

$f'(x) = -1 - 3x^{-4} = -1 - \frac{3}{x^4} = -\frac{x^4+3}{x^4}$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-\frac{x^4+3}{x^4} = 0$

$x^4 + 3 = 0$

$x^4 = -3$

この式を満たす実数解は存在しない。

ここで、$f'(x)$ の符号を調べる。$x^4$ は常に正であり、$x^4+3$ も常に正である。したがって、$f'(x) = -\frac{x^4+3}{x^4}$ は常に負となる（ただし、$x \neq 0$）。したがって、$f(x)$ は定義域全体で減少関数である。

$x=0$ で定義されないため、増減表を作成する。

x | -∞ | ... | 0 | ... | ∞

---|-------|-----|---|-----|-------

f'(x) | - | - | | - | -

f(x) | | ↓ | | ↓ |

したがって、極値は存在しない。

増減表の情報を整理すると、

$x < 0$ で $f'(x) < 0$ なので減少

$0 < x$ で $f'(x) < 0$ なので減少

3. 最終的な答え

A: 0

B: 0

C: 減少

I: なし

D: なし

E: なし