次の不定積分を求めよ。 $\int x \sqrt{1+x^2} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int x \sqrt{1+x^2} dx$

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を使って解くことができます。

$u = 1+x^2$ と置くと、

$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

したがって、$dx = \frac{du}{2x}$ となります。

これを元の積分に代入すると、

$\int x \sqrt{u} \frac{du}{2x}$

$= \int \frac{1}{2} \sqrt{u} du$

$= \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

$= \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ここで、$u = 1+x^2$ を代入すると、

$= \frac{1}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$