与えられた不定積分 $\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を用います。

$u = x^2 + 1$ と置くと、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

元の積分を $u$ で書き換えると、

$\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$

積分を実行します。

$\frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C$

ここで、$u = x^2 + 1$ を代入して元の変数に戻します。

$-\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C$

3. 最終的な答え

したがって、不定積分は次のようになります。

$-\frac{1}{2(x^2+1)} + C$