与えられた5つの不定積分を計算します。 問1：$\int (2x+1)^3 dx$ 問2：$\int x \sqrt{1+x^2} dx$ 問3：$\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$ 問4：$\int e^{3x+2} dx$ 問5：$\int \frac{\cos(5x)}{1+\sin(5x)} dx$

1. 問題の内容

与えられた5つの不定積分を計算します。

問1：$\int (2x+1)^3 dx$

問2：$\int x \sqrt{1+x^2} dx$

問3：$\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$

問4：$\int e^{3x+2} dx$

問5：$\int \frac{\cos(5x)}{1+\sin(5x)} dx$

2. 解き方の手順

問1：

$u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2dx$ となり、$dx = \frac{1}{2}du$ です。

したがって、

$\int (2x+1)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{8} u^4 + C = \frac{1}{8} (2x+1)^4 + C$

問2：

$u = 1+x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2}du$ です。

したがって、

$\int x \sqrt{1+x^2} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

問3：

$u = x^2+1$ と置換すると、$du = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2}du$ です。

したがって、

$\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \cdot (-1) u^{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C$

問4：

$u = 3x+2$ と置換すると、$du = 3dx$ となり、$dx = \frac{1}{3}du$ です。

したがって、

$\int e^{3x+2} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{3x+2} + C$

問5：

$u = 1+\sin(5x)$ と置換すると、$du = 5\cos(5x) dx$ となり、$\cos(5x) dx = \frac{1}{5}du$ です。

したがって、

$\int \frac{\cos(5x)}{1+\sin(5x)} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{5} \ln |u| + C = \frac{1}{5} \ln |1+\sin(5x)| + C$

3. 最終的な答え

問1：$\frac{1}{8}(2x+1)^4 + C$

問2：$\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

問3：$-\frac{1}{2(x^2+1)} + C$

問4：$\frac{1}{3}e^{3x+2} + C$

問5：$\frac{1}{5}\ln |1+\sin(5x)| + C$